Question

19．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，现以线段AC，BC为斜边向△ABC的外侧作直角三角形，分别是△APC、△BQC，且DP=DQ
（1）求证：△PED≌△DFQ；
（2）求证：CA•CQ=CB•CP．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线性质可以得出PE=DF，DE=QF，由SSS证明△PED≌△DFQ即可；
（2）证出∠ACP=∠BCQ，证明△APC∽△BQC，得出对应边成比例$\frac{CA}{CB}=\frac{CP}{CQ}$，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∠APC=∠BQC=90°，
∴DF=$\frac{1}{2}$AC，DF∥AC，DE=$\frac{1}{2}$BC，DE∥BC，PE=$\frac{1}{2}$AC，QF=$\frac{1}{2}$BC，
∴PE=DF，DE=QF，
在△PED和△DFQ中，$\left\{\begin{array}{l}{DP=DQ}&{\;}\\{PE=DF}&{\;}\\{DE=QF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PED≌△DFQ（SSS）；
（2）证明：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠AED=∠ECF，∠BFD=∠ECF，
∴∠AED=∠BFD，
∵△PED≌△DFQ，
∴∠PED=∠DFQ，
∴∠AEP=∠BFQ，
∵PE=$\frac{1}{2}$AC=CE，QF=$\frac{1}{2}$BC=CF，
∴∠EPC=∠ECP=$\frac{1}{2}$∠AEP，∠FCQ=∠FQC=$\frac{1}{2}$∠BFQ，
∴∠ACP=∠BCQ，
又∵∠APC=∠BQC=90°，
∴△APC∽△BQC，
∴$\frac{CA}{CB}=\frac{CP}{CQ}$，
∴CA•CQ=CB•CP．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握三角形中位线定理和直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．