Question

9．如图，已知AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得四个关系中任意选出一个，说明你探究结论的正确性．
结论：（1）∠APC=360°-∠PAB-∠PCD；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠APC=∠PCD-∠PAB；（4）∠APC=∠PAB-∠PCD．
选择结论（2），说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点P作PE∥AB，则PE∥CD，根据平行线的性质可得∠APE+∠PAB=180°、∠CPE+∠PCD=180°，再根据∠APC=∠APE+∠CPE即可得出∠APC=360°-∠PAB-∠PCD；
（2）过点P作PF∥AB，则PF∥CD，根据平行线的性质可得∠APF=∠PAB、∠CPF=∠PCD，再根据∠APC=∠APF+∠CPF即可得出∠APC=∠PAB+∠PCD；
（3）过点P作PM∥AB，则PM∥CD，根据平行线的性质可得∠APM=180°-∠PAB、∠CPM=180°-∠PCD，再根据∠APC=∠APM-∠CPM即可得出∠APC=∠PCD-∠PAB；
（4）过点P作PN∥AB，则PN∥CD，根据平行线的性质可得∠APN=180°-∠PAB、∠CPN=180°-∠PCD，再根据∠APC=∠CPN-∠APN即可得出∠APC=∠PAB-∠PCD．

解答 解：（1）∠APC=360°-∠PAB-∠PCD，理由如下：
过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴PE∥CD，
∴∠APE+∠PAB=180°，∠CPE+∠PCD=180°．
∵∠APC=∠APE+∠CPE，
∴∠APC=180°-∠PAB+180°-∠PCD=360°-∠PAB-∠PCD．

（2）∠APC=∠PAB+∠PCD，理由如下：
过点P作PF∥AB，
∵AB∥CD，PF∥AB，
∴PF∥CD，
∴∠APF=∠PAB，∠CPF=∠PCD．
∵∠APC=∠APF+∠CPF，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD．

（3）∠APC=∠PCD-∠PAB，理由如下：
过点P作PM∥AB，则PM∥CD，
∴∠APM=180°-∠PAB，∠CPM=180°-∠PCD，
∴∠APC=∠APM-∠CPM=（180°-∠PAB）-（180°-∠PCD）=∠PCD-∠PAB．

（4）∠APC=∠PAB-∠PCD，理由如下：
过点P作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠APN=180°-∠PAB，∠CPN=180°-∠PCD，
∴∠APC=∠CPN-∠APN=（180°-∠PCD）-（180°-∠PAB）=∠PAB-∠PCD．．
故答案为：（1）∠APC=360°-∠PAB-∠PCD；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠APC=∠PCD-∠PAB；（4）∠APC=∠PAB-∠PCD．

点评 本题考查了平行线的性质，解题的关键是：（1）根据平行线的性质找出∠APE+∠PAB=180°、∠CPE+∠PCD=180°；（2）根据平行线的性质找出∠APF=∠PAB、∠CPF=∠PCD；（3）根据平行线的性质找出∠APM=180°-∠PAB、∠CPM=180°-∠PCD；（4）根据平行线的性质找出∠APN=180°-∠PAB、∠CPN=180°-∠PCD．