Question

11．已知，如图（1），PB为⊙O的割线，直线PC与⊙O有公共点C，且PC²=PA×PB，
（1）求证：①∠PCA=∠PBC；②直线PC是⊙O的切线；
（2）如图（2），作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，若AD=2，BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）?根据已知条件得到$\frac{PA}{PC}=\frac{PC}{PB}$，推出△PCA∽△PBC，根据相似三角形的性质得到∠PCA=∠PBC，作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，得到∠PCA+∠FCA=90°，P过直径的一端点C，于是得到结论；
?（2）作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，推出AE∥CD，得到$\widehat{AD}=\widehat{CE}$，根据勾股定理得到BE=2$\sqrt{10}$，即可得出结果．

解答 （1）?证明：∵PC²=PA×PB，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PC}{PB}$，
∵∠CPA=∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴∠PCA=∠PBC，
作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，
∴∠F+∠FCA=90°，
∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC，
∴∠PCA+∠FCA=90°，
∵PC经过直径的一端点C，
∴直线PC是⊙O的切线；

?（2）解：作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，
∵CD⊥AB，
∴AE∥CD，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CE}$，
∴AD=CE=2，
∵BC=6，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：
BE²=CE²+BC²=2²+6²=40，
∴BE=2$\sqrt{10}$，
∴⊙O的半径为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．