Question

1．如图，已知⊙O的半径为2，从⊙O外的点C作⊙O的切线CA和CB，切点分别为点A和点D，若∠ACB=90°，BC=2$\sqrt{3}$，则图中阴影部分的面积是3$\sqrt{3}$$-\frac{4}{3}π$．

Answer 1

分析 连接OD、OE，证明四边形ACDO为正方形，得AC=OA=2，再求出∠ABC=30°，则∠OAB=∠ABC=30°，
得出扇形OAE的圆心角为120°，作△AOE的高OF，求出OF和AE的长，利用面积公式就可以求出阴影部分的面积．

解答 解：连接OD、OE，
∵AC、BC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，OD⊥BC，AC=CD，
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACDO为正方形，
在Rt△ACB中，
∵AC=OA=2，BC=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∴∠ABC=30°，
∵AO∥BC，
∴∠OAB=∠ABC=30°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=30°，
∴∠AOE=120°，
过O作OF⊥AB于F，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴AF=$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∴S_弓形=S_扇形OAE-S_△AOE=$\frac{120×π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_△ACB-S_弓形=$\frac{1}{2}$×$2×2\sqrt{3}$-（$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$；
故答案为：3$\sqrt{3}$$-\frac{4}{3}π$．

点评 本题考查了切线的性质和切线长定理，要明确以下几点：①若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，②扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S_扇形=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$或S_扇形=$\frac{1}{2}$lR（其中l为扇形的弧长），③勾股定理；对于求图形阴影部分的面积，要仔细观察图形，将不规则图形面积转化为规则图形的面积．