Question

14．已知：如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，D为BC的中点，P为线段AC上任意一点，则PB+PD的最小值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先确定DC′=DP+PC′=DP+BP的值最小，然后根据勾股定理计算．

解答 解：作点B关于直线AC的对称点C′，连接DC′，交AC于P，连接BP，
此时DP+BP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵D为BC的中点，∴BD=1，DC=1，
∴BC=AB=2，
连接CC′，由对称性可知∠C′BC=∠BC′C=45°，
∴∠BCC′=90°，
∴CC′⊥BC，∠CBC′=∠BC′C=45°，
∴BC=CC′=2，
根据勾股定理可得DC′=$\sqrt{CC{′}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了线路最短的问题，确定动点E何位置时，使PB+PD的值最小是关键．