Question

2．如图，四边形ABCD中，已知AB=10，CD=12，对角线BD平分∠ABC，∠ADB=45°，∠BCD=90°，则边BC的长度为4或6．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先证明△FBD∽△GDA，进而得到DG•DF=BF•AG①；设BE=x，将①式中的线段分别用x来表示，得到关于x的方程，解方程即可解决问题．

解答 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E；在ED上截取EF=EB，EG=EA；
连接AG，BF；则∠BFE=∠AGE=45°，
∴∠BFD=∠DGA=135°；
∵BD平分∠ABC，且∠BCD=90°，
∴DE=DC=12，BE=BC；
∵∠FBD+∠BDF=∠BDF+∠ADG=45°，
∴∠FBD=∠GDA；
∴△FBD∽△GDA，
∴$\frac{BF}{DG}$=$\frac{DF}{AG}$，即DG•DF=BF•AG；
设BE=x，则DF=12-x，EG=EA=10-x；
BF=$\sqrt{2}$x，AG=$\sqrt{2}$EG=$\sqrt{2}$（10-x），
∴（x+2）（12-x）=$\sqrt{2}$（10-x）$\sqrt{2}$x，
整理得：x²-10x+24=0，
解得：x=4或6，
即边BC的长度为4或6．
故答案为：4或6．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形；灵活运用有关定理来分析、判断、解答是关键．