Question

已知方程x²+（2k+1）x+k²-2=0的两实根x₁，x₂，且有x12+x22=11，求k的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：先根据判别式的意义得到△=（2k+1）²-4（k²-2）≥0，解得k≥-

9

4

，再根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²-2，然后已知条件变形为（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=11，则（2k+1）²-2（k²-2）=11，解方程得k₁=-3，k₂=1，再利用k的取值范围确定k的值．

解答：解：根据题意得△=（2k+1）²-4（k²-2）≥0，解得k≥-

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4

，
∵x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²-2，
而x12+x22=11，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=11，
即（2k+1）²-2（k²-2）=11，
整理得k²+2k-3=0，解得k₁=-3，k₂=1，
∵k≥-

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4

，
∴k=1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了根的判别式．