题目内容
如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（4，1），与y轴交于点B（0，-1），直线l经过点D（0，-2），且平行于x轴，过点A作AE⊥l，垂足为E．
（1）求抛物线及直线AB的解析式；
（2）若点P是在直线AB上方的抛物线上一点，是否存在点P使四边形PBDA的面积最大，如果存在，求出四边形PBDA的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）点M是抛物线在对称轴右边部分上的一点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
（1）求抛物线及直线AB的解析式；
（2）若点P是在直线AB上方的抛物线上一点，是否存在点P使四边形PBDA的面积最大，如果存在，求出四边形PBDA的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）点M是抛物线在对称轴右边部分上的一点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，即可得解；设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）求出△ABD的面积是定值判断出△ABP的面积越大，四边形PBDA的面积越大，过点P作PF∥y轴交AB于F，设点P的横坐标为x，根据直线解析式和抛物线解析式表示出PF，然后根据S△ABP=S△BPF+S△APF列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）设点M的横坐标为m，根据（2）写出MN的表达式，再根据平行四边形的对边相等可得MN=AE，然后解方程求出m，再代入抛物线解析式求出点M的纵坐标，即可得解．
（2）求出△ABD的面积是定值判断出△ABP的面积越大，四边形PBDA的面积越大，过点P作PF∥y轴交AB于F，设点P的横坐标为x，根据直线解析式和抛物线解析式表示出PF，然后根据S△ABP=S△BPF+S△APF列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）设点M的横坐标为m，根据（2）写出MN的表达式，再根据平行四边形的对边相等可得MN=AE，然后解方程求出m，再代入抛物线解析式求出点M的纵坐标，即可得解．
解答：解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（4，1），B（0，-1），
∴
，
解得
．
∴抛物线解析式为y=-x2+
x-1；
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线AB经过点A（4，1），B（0，-1），
∴
，
解得
，
∴直线AB的解析式为y=
x-1；
（2）∵B（0，-1），D（0，-2），A（4，1），
∴BD=-1-（-2）=1，点A到BD的距离为4，
∴S△ABD=
×1×4=2，
∵S四边形PBDA=S△ABD+S△APB，
∴△ABP的面积越大，四边形PBDA的面积越大，
过点P作PF∥y轴交AB于F，设点P的横坐标为x，
则PF=-x2+
x-1-（
x-1）=-x2+4x，
∴S△ABP=S△BPF+S△APF，
=
×（-x2+4x）×4，
=-2（x-2）2+8，
∴当x=2时，S△ABP有最大值8，
x=2时，y=-22+
×2-1=-4+9-1=4，
S四边形PBDA=S△ABD+S△APB=2+8=10，
故存在点P（2，4），使四边形PBDA的面积最大为10；
（3）设点M的横坐标为m，由（2）知MN=-m2+4m，
∵以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=AE=1-（-2）=3，
∴-m2+4m=3或-m2+4m=-3，
整理得，m2-4m+3=0或m2-4m-3=0
解得m1=1，m2=3或m=2±
，
∵点M是抛物线在对称轴右边部分上的一点，抛物线的对称轴为直线x=-
=
，
∴m＞
，
∴m=3或m=2+
，
∴-32+
×3-1=
，-（2+
）2+
×（2+
）-1=-3+
，
∴以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（3，
）或（2+
，-3+
）．
∴
|
解得
|
∴抛物线解析式为y=-x2+
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设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线AB经过点A（4，1），B（0，-1），
∴
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解得
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∴直线AB的解析式为y=
| 1 |
| 2 |
（2）∵B（0，-1），D（0，-2），A（4，1），
∴BD=-1-（-2）=1，点A到BD的距离为4，
∴S△ABD=
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| 2 |
∵S四边形PBDA=S△ABD+S△APB，
∴△ABP的面积越大，四边形PBDA的面积越大，
过点P作PF∥y轴交AB于F，设点P的横坐标为x，
则PF=-x2+
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| 1 |
| 2 |
∴S△ABP=S△BPF+S△APF，
=
| 1 |
| 2 |
=-2（x-2）2+8，
∴当x=2时，S△ABP有最大值8，
x=2时，y=-22+
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S四边形PBDA=S△ABD+S△APB=2+8=10，
故存在点P（2，4），使四边形PBDA的面积最大为10；
（3）设点M的横坐标为m，由（2）知MN=-m2+4m，
∵以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=AE=1-（-2）=3，
∴-m2+4m=3或-m2+4m=-3，
整理得，m2-4m+3=0或m2-4m-3=0
解得m1=1，m2=3或m=2±
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∵点M是抛物线在对称轴右边部分上的一点，抛物线的对称轴为直线x=-
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| 2×(-1) |
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∴m＞
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| 4 |
∴m=3或m=2+
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∴-32+
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| 2 |
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| 2 |
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| 2 |
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| ||
| 2 |
∴以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（3，
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| 2 |
| 7 |
| ||
| 2 |
点评：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，平行四边形的对边平行，根据直线AB的解析式与抛物线的解析式表示出平行于y轴的线段的长度是解题的关键，也是本题的难点．
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