Question

如图，在半径为4的⊙O中，直线l过点O与⊙O交于A、B，AC为弦，∠CAO=60°，P是直线l的一动点，连结CP．
（1）求∠AOC的度数；
（2）如图①，当CP与⊙O相切时，求AP的长；
（3）如图②，当点P在直径AB上时，CP的延长线与⊙O相交于点Q，问AP为何值时，△AQC是等腰三角形？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：计算题

分析：（1）根据OA=OC，∠CAO=60°可判断△OAC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解；
（2）根据切线的性质得OC⊥AC，则∠P=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得PO=2OC=8，然后利用PA=OP-OA求解；
（3）分类讨论：当AC=AQ时，如图2，根据圆心角、弧与弦的关系得到AC弧=AQ弧，再根据垂径定理得OA垂直平分CQ，则CP⊥OA，然后根据等边三角形的性质得AP=OP=

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OA=2；
当QA=QC时，如图3，作CH⊥AB于H，连接QO交AC于D，根据圆心角、弧与弦的关系得到弧QA=弧QC，再根据垂径定理得DQ垂直平分AC，则根据等腰三角形的性质得到∠AQD=∠CQD；接着利用圆周角得到∠AQC=

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2

∠AOC=30°，则∠AQD=15°，再利用OA=OQ得∠OAQ=∠OQA=15°，然后根据三角形外角性质得到∠APC=45°，在Rt△ACH中根据含30度的直角三角形三边的关系得到AH=

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AC=2，CH=

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AH=2

3

，在Rt△PCH中根据等腰直角三角形的性质得PH=CH=2

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，然后利用AP=AH+PH进行计算．

解答：解：（1）∵OA=OC，∠CAO=60°，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°；
（2）如图1，
∵CP与⊙O相切，
∴OC⊥AC，
∴∠PCO=90°，
∴∠P=30°，
∴PO=2OC=8，
∴PA=OP-OA=8-4=4；
（3）当AC=AQ时，如图2，则AC弧=AQ弧，
∴OA垂直平分CQ，
即CP⊥OA，
而△OAC为等边三角形，
∴AP=OP=

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OA=2；
当QA=QC时，如图3，作CH⊥AB于H，连接QO交AC于D，
∵QA=QC，
∴弧QA=弧QC，
∴DQ垂直平分AC，
∴∠AQD=∠CQD，
∵∠AQC=

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∠AOC=30°，
∴∠AQD=15°，
∵OA=OQ，
∴∠OAQ=∠OQA=15°，
∴∠APC=∠OAQ+∠PQA=45°，
在Rt△ACH中，∠CAO=60°，
∴∠ACH=30°，
∴AH=

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AC=2，CH=

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AH=2

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，
在Rt△PCH中，∠CPH=45°，
∴PH=CH=2

3

，
∴AP=AH+PH=2+2

3

，
综上所述，AP为2或2+2

3

时，△AQC是等腰三角形．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理、切线的性质和等边三角形的判定与性质；会利用等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．