Question

5．阅读材料（1），并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）．
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结BE、DE得到∠BED，求证：∠E=∠B+∠D．
悦悦是这样做的：
过点E作EF∥AB．则有∠BEF=∠B．
∵AB∥CD，∴EF∥CD．
∴∠FED=∠D．
∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D．
即∠BED=∠B+∠D．
（2）如图2，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想．
（3）如图3，EG₁和EG₂为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G₁和G₂，求证：∠FG₁E+∠G₂=180°．

Answer 1

分析 （2）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；由结论（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；
（3）如图3，过点G₁作G₁H∥AB由结论（1）可得∠G₂=∠1+∠3，∠EG₁F=∠BEG₁+∠G₁FD，得到∠3=∠G₂FD，由于FG₂平分∠EFD求得∠4=∠G₂FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G₂=∠2+∠4，由于∠EG₁F=∠BEG₁+∠G₁FD，得到∠EG₁F+∠G₂=∠2+∠4+∠BEG₁+∠G₁FD=∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结论．

解答 （2）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；
证明：由结论（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，
∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴2∠BEG+2∠GFD=180°，
∴∠BEG+∠GFD=90°，
∵∠EGF=∠BEG+∠GFD，
∴∠EGF=90°；

（3）证明：如图3，过点G₁作G₁H∥AB，
∵AB∥CD，∴G₁H∥CD，
由结论（1）可得∠G₂=∠1+∠3，∠EG₁F=∠BEG₁+∠G₁FD，
∴∠3=∠G₂FD，
∵FG₂平分∠EFD，
∴∠4=∠G₂FD，
∵∠1=∠2，
∴∠G₂=∠2+∠4，
∵∠EG₁F=∠BEG₁+∠G₁FD，
∴∠EG₁F+∠G₂=∠2+∠4+∠BEG₁+∠G₁FD=∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴∠EG₁F+∠G₂=180°．

点评 本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．