Question

9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点P是BD延长线上的一点．
（1）求证：PA=PC；
（2）如果PC⊥BC，求证：∠APC=∠BCD．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据菱形的性质和互余进行证明即可．

解答 证明：（1）∵菱形ABCD，
∴AO=OC，OP⊥AC，
∴∠POA=∠POC=90°，
在△PAO与△PCO中$\left\{\begin{array}{l}{AO=OC}\\{∠POA=∠POC}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PCO（SAS），
∴PA=PC；
（2）∵PC⊥BC，
∴∠CPD+∠PBC=90°，
∴∠APC+∠ABC=180°，
∵∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠APC=∠DCB．

点评 本题考查了菱形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质证明．