Question

19．如图，已知直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，过A、B两点的抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点C（-1，0）．
（1）求A、B的坐标；
（2）求抛物线的表达式；
（3）抛物线在x轴上方部分是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ABO的2倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，试求出能使△ACP的面积最大时的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征确定A点和B点坐标；
（2）设交点式y=a（x+1）（x-4），然后把B点坐标代入求出a即可得到所以抛物线解析式；
（3）设P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）（-1＜t＜4），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•（4+1）•（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）=2•$\frac{1}{2}$•2•4，由于此方程没有实数解，于是可判断抛物线在x轴上方部分不存在一点P，使得△ACP的面积是△ABO的2倍，然后把抛物线解析式配成顶点式即可得到使△ACP的面积最大的P点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x+2=2，则B（0，2），
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x=4，则A（4，0），
（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把B（0，2）代入得a•1•（-4）=2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），即y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（3）不存在．
设P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）（-1＜t＜4），
因为△ACP的面积是△ABO的2倍，
所以$\frac{1}{2}$•（4+1）•（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）=2•$\frac{1}{2}$•2•4，
整理得5t²-15t+12=0，△=15²-4×5×12＜0，方程没有实数解，
所以抛物线在x轴上方部分不存在一点P，使得△ACP的面积是△ABO的2倍，
当P点为抛物线的顶点时，△ACP的面积最大，
因为y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．