Question

2．如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求$\widehat{DE}$的长度（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）欲证明直线CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．
（2）先证明∠B=∠OCB=∠ACO，推出∠B=30°，∠DOE=60°，利用弧长公式即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AC是⊙O切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵CO平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠COA=∠COD}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△DOC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）∵OD⊥BC，DC=DB，
∴OC=OB，
∴∠OCD=∠B=∠ACO，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
∴$\widehat{DE}$的长=$\frac{60π•3}{180}$=π．

点评 本题考查切线的判定和性质、弧长公式、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，属于中考常考题型；解题的关键是发现全等三角形，证明∠B=30°．