Question

12．观察下列等式：
第1个等式：a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，
第2个等式：a₂=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
第3个等式：a₃=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$，
第4个等式：a₄=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；；
（2）a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\sqrt{n+1}$-1．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知，a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，a₂=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，a₃=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$，a₄=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-2，…由此得出第n个等式：a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）将每一个等式化简即可求得答案．

解答 解：（1）∵第1个等式：a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，
第2个等式：a₂=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
第3个等式：a₃=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$，
第4个等式：a₄=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-2，
∴第n个等式：a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（2-$\sqrt{3}$）+（$\sqrt{5}$-2）+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）
=$\sqrt{n+1}$-1．
故答案为$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；$\sqrt{n+1}$-1．

点评 此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．