Question

10．如图，直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax²-2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d₁、d₂，当d₁+d₂最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

Answer 1

分析 （1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；
（2）设M的坐标为（m，-m²+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化；
（3）①由（2）可知m=$\frac{5}{2}$，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；
②可将求d₁+d₂最大值转化为求AC的最小值．

解答 解：（1）令x=0代入y=-3x+3，
∴y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax²-2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=-1，
∴二次函数解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）令y=0代入y=-x²+2x+3，
∴0=-x²+2x+3，
∴x=-1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y=0代入y=-3x+3，
∴x=1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，-m²+2m+3），
S=S_{四边形OAMB}-S_△AOB
=S_△OBM+S_△OAM-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×m×3+$\frac{1}{2}$×1×（-m²+2m+3）-$\frac{1}{2}$×1×3
=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$
∴当m=$\frac{5}{2}$时，S取得最大值$\frac{25}{8}$．

（3）①由（2）可知：M′的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）；
②过点M′作直线l₁∥l′，过点B作BF⊥l₁于点F，
根据题意知：d₁+d₂=BF，
此时只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′=90°，
∴点F在以BM′为直径的圆上，
设直线AM′与该圆相交于点H，
∵点C在线段BM′上，
∴F在优弧$\widehat{BM′H}$上，
∴当F与M′重合时，
BF可取得最大值，
此时BM′⊥l₁，
∵A（1，0），B（0，3），M′（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
∴由勾股定理可求得：AB=$\sqrt{10}$，M′B=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，M′A=$\frac{\sqrt{85}}{4}$，
过点M′作M′G⊥AB于点G，
设BG=x，
∴由勾股定理可得：M′B²-BG²=M′A²-AG²，
∴$\frac{85}{16}$-（$\sqrt{10}$-x）²=$\frac{125}{16}$-x²，
∴x=$\frac{5\sqrt{10}}{8}$，
cos∠M′BG=$\frac{BG}{M′B}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵l₁∥l′，
∴∠BCA=90°，
∠BAC=45°
方法二：过B点作BD垂直于l′于D点，过M′点作M′E垂直于l′于E点，则BD=d₁，ME=d₂，
∵S_△ABM′=$\frac{1}{2}$×AC×（d₁+d₂）
当d₁+d₂取得最大值时，AC应该取得最小值，当AC⊥BM′时取得最小值．
根据B（0，3）和M′（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）可得BM′=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∵S_△ABM=$\frac{1}{2}$×AC×BM′=$\frac{25}{8}$，∴AC=$\sqrt{5}$，
当AC⊥BM′时，cos∠BAC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠BAC=45°．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目，化动为静去解决问题．