Question

14．已知二次函数y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）
（1）当k=$\frac{1}{2}$时，求这个二次函数的顶点坐标；
（2）求证：关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0有两个不相等的实数根；
（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：$\frac{1}{{O{A^2}}}+\frac{1}{{A{B^2}}}=\frac{1}{{A{Q^2}}}$．

Answer 1

分析 （1）直接将k的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标；
（2）利用根的判别式得出△=1，进而得出答案；
（3）根据题意首先表示出Q点坐标，以及表示出OA，AB的长，再利用两点之间距离求出AQ的长，进而求出答案．

解答 解：（1）将k=$\frac{1}{2}$代入二次函数可求得，
y=x²-2x+$\frac{3}{4}$
=（x-1）²-$\frac{1}{4}$，
故抛物线的顶点坐标为：（1，-$\frac{1}{4}$）；

（2）∵一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0，
∴△=b²-4ac=[-（2k+1）]²-4（k²+k）=1＞0，
∴关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0有两个不相等的实数根；

（3）由题意可得：点P的坐标为（0，-1），
则0=x²-（2k+1）x+k²+k
0=（x-k-1）（x-k），
故A（k，0），B（k+1，0），
当x=0，则y=k²+k，
故C（0，k²+k）
则AB=k+1-k=1，OA=k，
可得
${y_{PA}}=\frac{1}{k}x-1$，
y_BC=-kx+k²+k，
当$\frac{1}{k}$x-1=-kx+k²+k，
解得：x=k+$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
则代入原式可得：y=$\frac{k}{{k}^{2}+1}$，
则点Q坐标为$（k+\frac{k^2}{{{k^2}+1}}，\frac{k}{{{k^2}+1}}）$
运用距离公式得：AQ²=（$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$）²+（$\frac{k}{{k}^{2}+1}$）²=$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
则OA²=k²，AB²=1，
故$\frac{1}{O{A}^{2}}$+$\frac{1}{A{B}^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}}$+1=$\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}}$=$\frac{1}{A{Q}^{2}}$，
则$\frac{1}{{O{A^2}}}+\frac{1}{{A{B^2}}}=\frac{1}{{A{Q^2}}}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和配方法求二次函数顶点坐标和两点之间距离求法等知识，正确表示出Q点坐标是解题关键．