Question

16．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是边长为5的菱形，点C在x轴的正半轴上，直线AC：$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）直接写出A、B、C三点坐标；
（2）如图1，动点P从点A出发，沿折线A-B-C方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，动点Q同时从点C出发，沿线段AC方向以$\sqrt{5}$个单位/秒的速度向终点A匀速运动，P、Q两点中任意一点到达终点，另一个点随之而停止．设△PQB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）连接BM，如图2，动点P同样从点A出发，沿折线A-B-C方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，若tan∠MPB=$\frac{3}{4}$，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由A的坐标求出OA的长，根据四边形ABCO为菱形，利用菱形的四条边相等得到OC=OA，求出OC的长，即可确定出C的坐标；
（2）当点P在线段AB上时，由P的速度为2个单位/秒，时间为t秒，表示出AP，由AB-AP表示出PB，对于直线AC解析式，令x=0，得到y的值，即为OM的长，由OQ-OM求出MQ的长，三角形PBM以PB为底边，MQ为高，表示出S与t的关系式，并求出t的范围即可；当P在线段BC上时，作MQ垂直于BC，由P的速度为2个单位/秒，时间为t秒，表示出AB+BP的长，减去AB表示出BP的长，由四边形ABCO为菱形，利用菱形的性质得到CA为角平分线，利用角平分线定理得到MQ=MO，求出MQ的长，三角形PBM以BP为底边，MQ为高，表示出S与t的关系式，并求出t的范围即可；
（3）根据相似三角形的判定和性质进行解答即可．

解答 解：（1）∵OA=5，
∴A（-3，4），
∵四边形OABC为菱形，
∴OC=OA=5，
∴C（5，0），B（2，4）；
（2）①如图1，过Q作QN⊥直线AB于N，

∵A（-3，4），C（5，0），
∴AC=$4\sqrt{5}$，sin∠ACO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵四边形ABCO是边长为5的菱形，
∴sin∠NAQ=sin∠ACO=$\sqrt{5}$$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵动点Q同时从点C出发，沿线段AC方向以$\sqrt{5}$个单位/秒的速度向终点A匀速运动，
∴AQ=AC-CQ=$4\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t，
∴QN=4-t，
∵动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，
∴PB=5-2t，
∴△PQB的面积为S=$\frac{1}{2}$（5-2t）（4-t）=t²-$\frac{13}{2}$t+10（0≤t≤$\frac{5}{2}$）；
②如图2，过Q作QD⊥直线CB于D

∵四边形ABCO是边长为5的菱形，
∴sin∠DCQ=sin∠ACO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵动点Q同时从点C出发，沿线段AC方向以$\sqrt{5}$个单位/秒的速度向终点A匀速运动，
∴CQ=$\sqrt{5}$t，
∴Qd=t，
∵动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，
∴PB=2t-5，
∴△PQB的面积为S=$\frac{1}{2}$（2t-5）t=t²-$\frac{5}{2}$t （$\frac{5}{2}$＜t≤4）；
（3）①如图3，∵直线AC：$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$交y轴于点M，

∴OM=$\frac{5}{2}$，
∵四边形ABCO是菱形  A（-3，4），
∴OH=4，AH=3，
∴MH=$\frac{3}{2}$，
∵tan∠MPB=$\frac{3}{4}$，
∴PH=2，
∴AP=1，
∵AB∥OC，
∴△AEP∽△COE，
∴AP：OC=AE：CE=1：5 由（2）①知AC=$4\sqrt{5}$，
∴AE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
连结OB交AC于F，
∵四边形ABCO是边长为5的菱形，AC=$4\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，OF=$\sqrt{5}$，
∴直线OP与直线AC所夹锐角∠OEC的正切值是$\frac{3}{4}$；
②∵四边形ABCO是菱形，
∵在△OCM与△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=BC}\\{∠OCM=∠BCM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△OCM≌△BCM，
∴BM=OM=$\frac{5}{2}$，∠MBP=∠MOC=90°，
∵tan∠MPB=$\frac{3}{4}$，
∴BP=$\frac{10}{3}$，
∵AO∥BC，
∴△AEO∽△PEC，
∴AE：EC=AO：PC
由（2）①知AC=$4\sqrt{5}$，
∴EF=$\sqrt{5}$，
所以直线OP与直线AC所夹锐角∠OEC的正切值是1．

点评 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，菱形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．