Question

4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向终点A移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求t为何值时，△APQ的面积为2cm²？
（2）求t为何值时点P与Q的距离是4cm？

Answer 1

分析 （1）首先表示出AP和AQ的长，然后根据△APQ的面积为2cm²建立方程，求解即可；
（2）首先表示出AP和AQ的长，然后由勾股定理根据点P与Q的距离是4cm列出有关时间t的方程求解即可．

解答 解：（1）由题意，可得AP=2t，AQ=3-t，
∵△APQ的面积为2cm²，
∴$\frac{1}{2}$×2t×（3-t）=2，
解得t=1或2．
答：t为1或2时，△APQ的面积为2cm²；

（2）由题意，可得AP=2t，AQ=3-t，
∵点P与Q的距离是4cm，
∴（2t）²+（3-t）²=4²，
解得：t=$\frac{3-2\sqrt{11}}{5}$或$\frac{3+2\sqrt{11}}{5}$，
∵t=$\frac{3-2\sqrt{11}}{5}$＜0，不合题意舍去，
而0＜t=$\frac{3+2\sqrt{11}}{5}$＜2，符合题意．
答：t的值为$\frac{3+2\sqrt{11}}{5}$时点P与Q的距离是4cm．

点评 本题考查了一元二次方程的解法和应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．