Question

【题目】如图，在ABCD中，过B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥BD分别与BD、BE交于点G、F，连接GE，已知AB＝BD，CF＝AB．

（1）若∠ABE＝30°，AB＝6，求△ABE的面积；

（2）求证：GE＝BG．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由含30°角直角三角形性质得出AE＝AB＝3，由勾股定理得出BE＝＝3，由三角形面积公式即可得出结果；

（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，则∠ADB＝∠CBD，证出∠BFC＝∠BDE，得出∠CBG＝∠BFG，由AAS证明△DEB≌△FBC得出BF＝DE，BE＝BC＝2DE，设DE＝x，则BE＝BC＝AD＝2x，CF＝BD＝AB＝x，S△BCF＝CFBG＝BFBC，求得BG＝x，DG＝x，过G作GH⊥AD于H，由sin∠EDG＝＝，求得GH＝x，由cos∠EDG＝＝，求得DH＝x，EH＝DE﹣DH＝x，由勾股定理求出EG＝＝，即可得出结论．

（1）解：∵BE⊥AD，∠ABE＝30°，

∴AE＝AB＝3，BE＝＝＝3，

∴S△ABE＝AEBE＝×3×3＝；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵∠FGB＝∠BED＝90°，∠FBG＝∠DBE

∴∠BFC＝∠BDE，

∴∠CBG＝∠BFG，

∵∠CGB＝∠BGF＝90°，

∴∠BCF＝∠DBE，

∴∠CBF＝∠BCG+∠CBG＝90°，

∵BE⊥AD，AB＝BD，

∴AE＝DE，

∵AB＝BD，CF＝AB，

∴CF＝BD，

在△DEB和△FBC中，，

∴△DEB≌△FBC（AAS），

∴BF＝DE，BE＝BC＝2DE，

设DE＝x，则BE＝BC＝AD＝2x，CF＝BD＝AB＝x，

S△BCF＝CFBG＝BFBC，

即：xBG＝x2x，

∴BG＝x，

∴DG＝x﹣x＝x，

过G作GH⊥AD于H，如图所示：

sin∠EDG＝＝，即：＝，

∴GH＝x，

cos∠EDG＝＝，即：＝，

∴DH＝x，

EH＝DE﹣DH＝x﹣x＝x，

∴EG＝＝＝，

∴＝＝，

∴EG＝BG．