Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．

（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；

（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）四边形ABCE是菱形，理由见解析；（2）△PAF的周长的最小值为+2．

【解析】

（1）先证明四边形ABCE是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线的性质得出CE=AE，从而可得到四边形ABCE是菱形；
（2）当PA+PF最小时，△PAF的周长最小．由（1）知四边形ABCE是菱形，得点A、C关于BE对称，得出PC=AP，即点P为CF与BE的交点时，C，P，F三点共线，PA+PF=PC+PF最小，此时△PAF的周长=PA+PF+AF=CF+AF．再证明△ACE是等边三角形，得AC=AE=CE=4，又根据AF=AE=2，结合勾股定理可得出CF的长，从而可得出结果．

解：（1）四边形ADCE是菱形，理由如下：
∵点E是AD的中点，∴AE=AD．
∵BC=AD，∴AE=BC．
∵BC∥AD，即BC∥AE．
∴四边形ABCE是平行四边形．
∵AC⊥CD，点E是AD的中点，
∴CE=AE，
∴四边形ABCE是菱形；
（2）由（1）得，四边形ABCE是菱形．
∴AE=EC=AB=4，且点A、C关于BE对称，∴AP=CP．

∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小，
即点P为CF与BE的交点时，C，P，F三点共线，PA+PF=PC+PF最小，
此时△PAF的周长=PA+PF+AF=CP+PE+AF=CF+AF．

在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE=DE，
∴∠ECD=∠D=30°，∴∠ACE=90°-30°=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=AE=CE=4．
∵AF=EF，∴CF⊥AE，
∵点F是AE的中点，AF=AE=2．

∴CF=，

∴△PAF的周长最小值=CF+AF=+2．