Question

4．当x≥1时，不等式|x+1|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|恒成立，那么实数m的最大值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 当x≥1时，不等式|x+1|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|恒成立，可以得到m≤|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|，然后只要求出|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|的最小值即可求得m的最大值，本题得以解决．

解答 解：∵|x+1|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|，
∴m≤|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|，
设y=|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|，
当1≤x＜2时，y=x+1+$\sqrt{x-1}$+2-x=3+$\sqrt{x-1}$≥3，
当x≥2时，y=x+1+$\sqrt{x-1}$+x-2=2x+$\sqrt{x-1}$-1≥4，
∴y的最小值是3，
∵当x≥1时，不等式|x+1|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|恒成立，
∴m的最大值是3，
故选C．

点评 本题考查绝对值函数的最值，解答此类问题的关键是明确题意，将求m的最大值转化为求|x+1|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|的最小值，利用分类讨论的数学思想解答．