Question

6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，点P从点A出发，以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时点Q从点C出发．向点A匀速运动，结果两点同时到目的地．设运动的时间为1．
（1）求点Q的运动速度．
（2）当t为何值时，PQ=5？
（3）在点P，Q的运动过程中，求线段PQ中点的运动路径长．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理，求得AB长，进而得到点P运动到点B所需的时间，最后计算点Q的运动速度即可；
（2）过点P作PD⊥AC于D，则PD∥BC，根据相似三角形的性质，得出PD=3t，AD=4t，再根据CQ=4t，得到DQ=12-4t-4t=12-8t，最后根据勾股定理得到（3t）²+（12-8t）²=5²，解得t=1或$\frac{119}{73}$即可；
（3）以A为原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，当t=0时，点PQ的中点O₁的坐标为（6，0），当t=3时，点PQ的中点O₂的坐标为（6，$\frac{9}{2}$），进而得到直线O₁O₂的解析式为x=6，再根据点Q（12-4t，0），P（4t，3t），得到在运动过程中，线段PQ中点O的坐标为（$\frac{12-4t+4t}{2}$，$\frac{3}{2}$t），即O（6，$\frac{3}{2}$t），进而得出点O在线段O₁O₂上，最后根据三角形中位线定理，求得O₁O₂=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{9}{2}$，即可得到线段PQ中点的运动路径长．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AC=12，BC=9，
∴Rt△ABC中，AB=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
∴点P运动到点B时，t=$\frac{15}{5}$=3秒，
∴点Q的运动速度=$\frac{12}{3}$=4单位/秒；

（2）如图，过点P作PD⊥AC于D，则PD∥BC，
∴△ADP∽△ACB，
∴AP：AD：DP=AB：AC：BC=5：4：3，
∵AP=5t，
∴PD=3t，AD=4t，
又∵CQ=4t，
∴DQ=12-4t-4t=12-8t，
当PQ=5时，
∵Rt△PDQ中，PD²+DQ²=PQ²，
∴（3t）²+（12-8t）²=5²，
解得t=1或$\frac{119}{73}$，
∴当t=1或$\frac{119}{73}$秒时，PQ=5；

（3）如图，以A为原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
依题意可知0≤t≤3，
当t=0时，点PQ的中点O₁的坐标为（6，0），
当t=3时，点PQ的中点O₂的坐标为（6，$\frac{9}{2}$），
∴直线O₁O₂的解析式为x=6，
∵CQ=4t，AP=5t，
∴AQ=12-4t，AD=4t，PD=3t，
∴点Q（12-4t，0），P（4t，3t），
∴在运动过程中，线段PQ中点O的坐标为（$\frac{12-4t+4t}{2}$，$\frac{3}{2}$t），即O（6，$\frac{3}{2}$t），
∴点O在线段O₁O₂上，
∴即线段PQ中点的运动路径为线段O₁O₂，
∵P，Q两点同时出发，同时到目的地，
∴O₁和O₂分别是AC和AB的中点，
∴O₁O₂=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{9}{2}$，
∴线段PQ中点的运动路径长为$\frac{9}{2}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理以及中点公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用数形结合思想进行求解．