Question

13．如图，已知△ABC，AB=AC=2，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 证明△DBC∽△BAC，得到点D是AC的黄金分割点，根据黄金分割的概念解答即可．

解答 解：∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠BDC=72°，
∴DA=DB=BC，
∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△DBC∽△BAC，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，即BC²=CD•AC，
∴AD²=CD•AC，
∴点D是AC的黄金分割点，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC=$\sqrt{5}$-1，
故答案为：$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、黄金分割的概念，掌握黄金比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是解题的关键．