Question

6．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，AC=2$\sqrt{3}$，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧AmC上任意一点（不包括A，C），记四边形ABCD的周长为y，BD的长为x，则y关于x的函数关系式是（　　）

• A． y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+4
• B． y=$\sqrt{3}$x+4
• C． y=$\sqrt{3}$x²+4
• D． y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+4

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形和等边三角形，证明Rt△AGB≌Rt△CFB得：AG=CF，根据30°角的笥质表示DF和DG的长，计算四边形ABCD的周长即可．

解答 解：连接OB交AC于E，连接OC、OB，
过B作BG⊥AD，BF⊥CD，交DA的延长线于G，交CD于F，
∵AB=BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠BDA=∠BDC，
∴BG=BF，
在Rt△AGB和Rt△CFB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BG=BF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGB≌Rt△CFB（HL），
∴AG=FC，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴OB⊥AC，EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
在△AOB和△COB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AO=OC}\\{OB=OB}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BDC=∠ADB=30°，
Rt△BDF中，BD=x，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
同理得：DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AD+DC=AD+DF+FC=DG+DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\sqrt{3}$x，
Rt△BEC中，∠BCA=30°，
∴BE=1，BC=2，
∴AB=BC=2，
∴y=AB+BC+AD+DC=2+2+$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$x+4，
故选B．

点评 本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是关键，利用直角三角形30°角的性质解决问题．