Question

11．如图，在△ABC中，∠B=60°，CD为AB边上的高，E为AC边的中点，点F在BC边上，∠EDF=60°，若BF=3，CF=5，则AC边的长为2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 过D作DM⊥BC于M，根据直角三角形的性质得到BD=$\frac{1}{2}$BC=4，得到DM=2$\sqrt{3}$，BM=2，MF=1，DF=$\sqrt{13}$，取BC的中点H，连接DH，EH，根据三角形的中位线的性质得到EH∥AB，根据平行线的性质得到∠EHD=60°，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过D作DM⊥BC于M，
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
∵∠B=60°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DM=2$\sqrt{3}$，BM=2，
∴MF=1，DF=$\sqrt{13}$，
取BC的中点H，连接DH，EH，
∵E为AC边的中点，
∴EH∥AB，
∴∠EHD=60°，
∵∠BDH=60°，∠EDF=60°，
∴∠BDF=∠HDE，
∴△BDF∽△HDE，
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{DH}{DE}$，
∴$\frac{4}{\sqrt{13}}$=$\frac{4}{DE}$，
∴DE=$\sqrt{13}$，
∴AC=2$\sqrt{13}$．
故答案为：2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．