Question

17．如图：平行四边形ABCD中，（AB≠AD），AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD
①求证：AE=CF；
②若E是BC中点，求证：BC=2AB．

Answer 1

分析 ①根据平行四边形的性质可得AD∥BC，∠BAD=∠BCD，根据平行线的性质可得∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，然后根据角平分线的性质可得∠1=∠2，进而可得∠3=∠4，然后可判定四边形AECF是平行四边形，从而得到AE=CF；
（2）根据角平分线和平行线的性质可证明∠5=∠6，从而可得AB=BE，再根据E是BC中点可证出结论．

解答 证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠1=$\frac{1}{2}∠$BAD，∠2=$\frac{1}{2}∠$BCD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF；

②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠6，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠5，
∴∠5=∠6，
∴AB=BE，
∵E是BC中点，
∴BC=2BE，
∴BC=2AB．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对边平行，对角线相等．