Question

14．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，O为AC、BD的中点，AB=10，AC=16，BD=12．
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请证明；
（2）点P在AO上，点Q在DO上，且AP=2OQ．若PQ=BQ，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）根据O为AC、BD的中点，可得出四边形ABCD为平行四边形，根据AC=16、BD=12即可得出OA、OB的长度，再结合AB=10即可得出AO²+BO²=AB²，从而得出∠AOB=90°，进而可证出四边形ABCD是菱形；
（2）设OQ=x，则AP=2x，OP=8-2x，BQ=6+x．根据勾股定理可得出PQ的长度，结合PQ=BQ即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）四边形ABCD是菱形．
∵O为AC、BD的中点，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=8，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6．
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AO²+BO²=100，AB²=100．
∴AO²+BO²=AB²．
∴∠AOB=90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，∠AOB=90°，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）设OQ=x，则AP=2x，OP=8-2x，BQ=6+x．
∵∠POQ=90°，
∴PQ²=OP²+OQ²，
又∵PQ=BQ，
∴PQ²=BQ²，
∴（6+x）²=（8-2x）²+x²，
解得：${x_1}=\frac{{11+\sqrt{93}}}{2}，{x_2}=\frac{{11-\sqrt{93}}}{2}$．
又∵8＞x＞0，
∴AP=2x=11-$\sqrt{93}$．

点评 本题考查了菱形的判定、勾股定理以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握菱形的判定定理；（2）根据线段间的关系找出关于x的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握菱形的判定定理是关键．