Question

2．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连结AE．已知AB=8，CE=2，F是线段AE上一动点．若BF的延长线交正方形ABCD的一边于点G，且满足AE=BG，则$\frac{BF}{FG}$的值为1或$\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 分两种情形：①当G在AD边上时，②当G′在CD上时分别求解即可；

解答 解：①当G在AD边上时，∵AE=BG，AB=AB，∠BAG=∠ABE=90°，
∴△ABG≌△BAE，
∴AG=BE，
∵AG∥BE，
∴$\frac{BF}{FG}$=$\frac{BE}{AG}$=1．
②当G′在CD上时，易证△ABE≌△BCG′，
∴∠BAE=∠CBG′，
∵∠CBG′+∠ABF′=90°，
∴∠BAE+∠ABF′=90°，
∴∠AF′B=90°，
∴BG′⊥AE，
∵AB=8．BE=6，
∴AE=BG′=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$•AB•BE=$\frac{1}{2}$•AE•BF′，
∴BF′=$\frac{24}{5}$，F′G′=10-$\frac{24}{5}$=$\frac{26}{5}$，
∴$\frac{BF′}{F′G′}$=$\frac{\frac{24}{5}}{\frac{26}{5}}$=$\frac{12}{13}$
故答案为1或$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．