Question

7．已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=21°；
（2）若∠GOA=$\frac{1}{3}$∠BOA，∠GAD=$\frac{1}{3}$∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=14°；
（3）将（2）中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=α”，其它条件不变，求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）
（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=α（30°＜α＜90°），求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
（2）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
（4）分两种讨论：∠EOD：∠COE=1：2，∠EOD：∠COE=2：1，分别运用上述方法即可得到∠OGA的度数．

解答 解：（1）∵∠BOA=90°，∠OBA=42°，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，
∵AF平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA=90°，
∴∠GAD=$\frac{1}{2}$∠BAD=66°，∠EOA=$\frac{1}{2}$∠BOA=45°，
∴∠OGA=∠GAD-∠EOA=66°-45°=21°；
故答案为：21°；

（2）∵∠BOA=90°，∠OBA=42°，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，
∵∠BOA=90°，∠GOA=$\frac{1}{3}$∠BOA，∠GAD=$\frac{1}{3}$∠BAD，
∴∠GAD=44°，∠EOA=30°，
∴∠OGA=∠GAD-∠EOA=44°-30°=14°；
故答案为14°；

（3）∵∠BOA=90°，∠OBA=α，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+α，
∵∠BOA=90°，∠GOA=$\frac{1}{3}$∠BOA，∠GAD=$\frac{1}{3}$∠BAD，
∴∠GAD=30°+$\frac{1}{3}$α，∠EOA=30°，
∴∠OGA=∠GAD-∠EOA=$\frac{1}{3}$α；

（4）当∠EOD：∠COE=1：2时，∠EOD=30°，
∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，而AF平分∠BAD，
∴∠FAD=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$（α+90°），
∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，
∴30°+∠OGA=$\frac{1}{2}$（α+90°），
解得∠OGA=$\frac{1}{2}$α+15°；
当∠EOD：∠COE=2：1时，∠EOD=60°，
同理可得∠OGA=$\frac{1}{2}$α-15°；
综上所述，∠OGA的度数为$\frac{1}{2}$α+15°或$\frac{1}{2}$α-15°．

点评 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质．解题时注意：三角形内角和为180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．