Question

5．如图，已知点D在双曲线y=$\frac{20}{x}$（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax²+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．
（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）证明∠ACO=∠OBC；
（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到点D的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D的坐标；过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，易得出A，B的坐标，即可求出抛物线的解析式；
（2）连接AC，tan∠ACO=$\frac{OA}{CO}$=$\frac{1}{2}$，tan∠CBO=$\frac{CO}{OB}$=$\frac{1}{2}$，即可得出∠ACO=∠CBO．
（3）分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，设P（t，$\frac{1}{4}$t²-$\frac{5}{2}$t+4），分三种情况①AQ：AP=1：4，②AQ：AP=2：4，③AQ：AP=3：4，分别求解即可．

解答 解：（1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），
∴点D的纵坐标是4，
又∵点D在双曲线y=$\frac{20}{x}$（x＞0）的图象上，
∴4=$\frac{20}{x}$，
解得x=5，
故点D的坐标是（5，4）．
如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，

在RT△DAE中，DA=5，DE=4，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=3，
∴OA=OE-AE=2，OB=OA+2AE=8，
∴A（2，0），B（8，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8），由于它过点C（0，4），
∴a（0-2）（0-8）=4，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+4．
（2）如图2，连接AC，

在RT△AOC中，OA=2，CO=4，
∴tan∠ACO=$\frac{OA}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
在RT△BOC中，OB=8，CO=4，
∴tan∠CBO=$\frac{CO}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACO=∠CBO．
（3）∵B（8，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
如图3，分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，

设P（t，$\frac{1}{4}$t²-$\frac{5}{2}$t+4），
①AQ：AP=1：4，则易得Q（$\frac{t+6}{4}$，$\frac{{t}^{2}-10t+16}{16}$），
∵点Q在直线y=-$\frac{1}{2}$x+4上，
∴-$\frac{1}{2}$$\frac{t+6}{4}$+4=$\frac{{t}^{2}-10t+16}{16}$，整理得t²-8t-36=0，
解得t₁=4+2$\sqrt{13}$，t₂=4-2$\sqrt{13}$，
∴P₁（4+2$\sqrt{13}$，11-$\sqrt{13}$），P₂（4-2$\sqrt{13}$，11+$\sqrt{13}$），
②AQ：AP=2：4，则易得Q（$\frac{t+2}{2}$，$\frac{{t}^{2}-10t+16}{8}$），
∵点Q在直线y=-$\frac{1}{2}$x+4上，
∴-$\frac{1}{2}$•$\frac{t+2}{2}$+4=$\frac{{t}^{2}-10t+16}{8}$，
整理得t²-8t-12=0，解得P₃=4+2$\sqrt{7}$，P₄=4-2$\sqrt{7}$，
∴P₃（4+2$\sqrt{7}$，5-$\sqrt{7}$），P₄（4-2$\sqrt{7}$，5+$\sqrt{7}$）；
③AQ：AP=3：4，则易得Q（$\frac{3t+2}{4}$，$\frac{3{t}^{2}-30t+48}{16}$），
∵点Q在直线y=-$\frac{1}{2}$x+4上，
∴-$\frac{1}{2}$•$\frac{3t+2}{4}$+4=$\frac{3{t}^{2}-30t+48}{16}$，整理得t²-8t-4=0，解得t₅=4+2$\sqrt{5}$，t₆=4-2$\sqrt{5}$，
∴P₅（4+2$\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$），P₆（4-2$\sqrt{5}$，3+$\sqrt{5}$），
综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的四等分点，其坐标分别为P₁（4+2$\sqrt{13}$，11-$\sqrt{13}$），P₂（4-2$\sqrt{13}$，11+$\sqrt{13}$），P₃（4+2$\sqrt{7}$，5-$\sqrt{7}$），P₄（4-2$\sqrt{7}$，5+$\sqrt{7}$）；P₅（4+2$\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$），P₆（4-2$\sqrt{5}$，3+$\sqrt{5}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解．