Question

5．如图，AB为⊙O的直径，点C为$\widehat{AB}$的中点，弦CE交AB于F，过E作⊙O的切线交AB的延长线于D．
（1）求证：DE=DF；
（2）连接AE、AC，若OF=1，OA=3，求S_△ACE．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质得出∠CED=∠CAE，进而结合三角形的外角性质得出∠CED=∠DFE，求出即可；
（2）利用切线的性质以及勾股定理得出DO的长，进而利用S_△ACE=S_△ACF+S_△AFE求出即可．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，点C为$\widehat{AB}$的中点，
∴∠AEC=∠CAB=45°
∵DE为⊙O的切线，
∴∠CED=∠CAE，
即∠CED=∠CAB+∠BAE=45°+∠BAE，
∵∠DFE为△AEF的外角，
∴∠DEF=∠AEC+∠BAE=45°+∠BAE，
∴∠CED=∠DFE，
∴DE=DF；

（2）解：连接CO，过点E作EH⊥AB于点H，连接EO，
∵点C为$\widehat{AB}$的中点，
∴∠AOC=∠COB=90°，即CO⊥AF，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}•AF•CO=\frac{1}{2}×4$×3=6，
∵AO=3，∴AB=6，AF=4，
∴BF=2，
∵DE=DF，
设DE=DF=x，
∵DE是⊙O的切线，则OE⊥DE，
故在Rt△OED中，EO²+DE²=DO²，
则3²+x²=（x+1）²，
解得：x=4，
故EH×DO=EO×ED，
即5EH=3×4，
解得：EH=2.4，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$×AF×EH=$\frac{1}{2}$×4×2.4=4.8，
故S_△ACE=S_△ACF+S_△AFE=6+4.8=10.8．

点评 此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，根据S_△ACE=S_△ACF+S_△AFE得出是解题关键．