已知该抛物线y=x2+bx+c.经过点B与y轴交于点C．(1)确定抛物线的表达式.并求出C点坐标,(2)如图1.经过点B的直线l交抛物线于点E.且满足∠EBO=∠ACB.求出所有满足条件的点E的坐标.并说明理由,(3)如图2.M.N是抛物线上的两动点.分别过点M.N作PM∥x轴.PN∥y轴.PM.PN交于点P．点M.N运动时.且始终保持MN=$\sqrt{2}$不变.当△MNP� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

已知该抛物线y=x²+bx+c，经过点B（-4，0）和点A（1，0）与y轴交于点C．

（1）确定抛物线的表达式，并求出C点坐标；
（2）如图1，经过点B的直线l交抛物线于点E，且满足∠EBO=∠ACB，求出所有满足条件的点E的坐标，并说明理由；
（3）如图2，M，N是抛物线上的两动点（点M在左，点N在右），分别过点M，N作PM∥x轴，PN∥y轴，PM，PN交于点P．点M，N运动时，且始终保持MN=$\sqrt{2}$不变，当△MNP的面积最大时，请直接写出直线MN的表达式．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（2）根据勾股定理，可得BC的长，根据等角的正切值相等，可得HO的长，根据待定系数法，可得BE的解析式，根据解方程组，可得E点坐标；
（3）由题意△PMN是等腰直角三角形，得PM=PN=1，设M（a，a²+3a-4）则N（a+1，a²+3a+1）或（a+1，a²+3a-5），代入抛物线的解析式即可求解．

解答解：（1）y=x²+bx+c，经过点B（-4，0）和点A（1，0），得
$\left\{\begin{array}{l}{（-4）^{2}-4b+c=0}\\{1+b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=x²+3x-4，
当x=0时，y=-4，
C点坐标为（0，-4）；
（2）如图：

由题意，得OB=OC=4，BC=4$\sqrt{2}$，
设l₁与y轴交于点H，过A作AD⊥BC于点D，△ADB是等腰直角三角形，．
∵AD=BD=AB•sin45°$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，CD=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，∠ACB=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{5}{3}$．
∵∠ACB=∠EBA，
∴HO=$\frac{BO}{tan∠EBA}$=$\frac{20}{3}$，H（0，$\frac{20}{3}$），
设直线l₁的解析式为y=kx+b，将B、C点坐标代入，得
k=$\frac{5}{3}$，
l₁的解析式为y=$\frac{5}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
联立抛物线与l₁，得$\frac{5}{3}$x+$\frac{20}{3}$=x²+3x-4，
解得x=$\frac{8}{3}$，E₁（$\frac{8}{3}$，$\frac{100}{9}$）；
同理l₂：y=-$\frac{5}{3}$x-$\frac{20}{3}$，
-$\frac{5}{3}$x-$\frac{20}{3}$=x²+3x-4，
解得x=-$\frac{2}{3}$，E₂（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{50}{9}$），
综上所述：E₁（$\frac{8}{3}$，$\frac{100}{9}$），E₂（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{50}{9}$）；
（3）∵△PMN是直角三角形，斜边MN=$\sqrt{2}$，
∴当△PMN面积最大时，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=1，
由题意设M（a，a²+3a-4）则N（a+1，a²+3a-3）或（a+1，a²+3a-5），
∴a²+3a-3=（a+1）²+3（a+1）-4或a²+3a-5=（a+1）²+3（a+1）-4，
∴a=-$\frac{3}{2}$或-$\frac{5}{2}$．
①当a=-$\frac{3}{2}$时，M（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），N（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{21}{4}$），设直线MN为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=-\frac{25}{4}}\\{-\frac{1}{2}k+b=-\frac{21}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-\frac{19}{4}}\end{array}\right.$，所以直线MN为y=x-$\frac{19}{4}$．
②当a=-$\frac{5}{2}$时，M（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{4}$），N（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），设直线MN为y=k′x+b′，则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{2}k′+b′=-\frac{21}{4}}\\{-\frac{3}{2}k′+b′=-\frac{25}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=-1}\\{b′=-\frac{31}{4}}\end{array}\right.$，所以直线MN为y=-x-$\frac{31}{4}$．