Question

7．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：
①GA=GP；②S_△PAC：S_△PAB=AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP=FC，
其中正确的判断有（填序号）①②③④．

Answer 1

分析 ①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．

解答 解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG=∠CAP，
∴∠APG=∠BAP，
∴GA=GP；
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S_△PAC：S_△PAB=AC：AB，
③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∴FP=FC，
故①②③④都正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．