Question

9．AB是圆的一条弦，它将圆分成两部分，M、N分别是两段弧的中点，以点B旋转中心将弓形AMB顺时针旋转一个角度成弓形A₁MB、A₁A的中点为P，MN的中点为Q．
求证：MN=2PQ．

Answer 1

分析 设弦AB是⊙O的弦，连接NO，由此NO交AB于D，交⊙O于C，连接CA、CB、CM、BM，只要证明△PNM∽△ANC，即可推出∠MPN=90°，由此即可解决问题．

解答 证明：设弦AB是⊙O的弦，连接NO，由此NO交AB于D，交⊙O于C，连接CA、CB、CM、BM．
∵$\widehat{AN}$=$\widehat{BN}$，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD，$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∵$\widehat{{A}_{1}M}$=$\widehat{BM}$=$\widehat{BC}$，
∴BC=BM，
∵弓形AMB顺时针旋转一个角度成弓形A₁MB，
∴AB=BA₁，∠ABA₁=∠CBM，
∴△BCM∽△BAA₁，
∴∠MCB=∠A₁AB，$\frac{CM}{A{A}_{1}}$=$\frac{BC}{BA}$，
∵∠BAN=∠BCN，
∴∠PAN=∠MCN，
∵PA=PA₁，
∴$\frac{CM}{A{A}_{1}}$=$\frac{CM}{2AP}$=$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BC}{2BD}$，
∴$\frac{CM}{AP}$=$\frac{BC}{BD}$，
∵∠CDB=∠CAN=90°，∠CBD=∠ANC，
∴△DBC∽△ANC，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{NC}{NA}$，
∴$\frac{CM}{AP}$=$\frac{NC}{AN}$，
∴△APN∽△CMN，
∴$\frac{MN}{PN}$=$\frac{CN}{AN}$，∠CNM=∠PNA，
∴∠MNP=∠DNA，
∴△PNM∽△ANC，
∴∠NPM=∠NAC=90°，
∵MQ=QN，
∴PQ=QM=QN，
∴MN=2PQ．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，本题的难点多次证明相似三角形，熟练掌握两边成比例夹角相等两三角形相似这个判定定理，属于中考压轴题．