如图①.在平面直角坐标系中.一次函数l1:y1=ax+b的图象经过点A和B.其中点B的坐标是(0.6).∠OAB=45°.一次函数l2:y2=-$\frac{1}{3}$x的图象与l1相交于点C．(1)求一次函数l2:y1=ax+b的解析式.并求y1＞y2时x的取值范围,(2)如图②.分别过A.B两点作直线l2的垂线.垂足为E.F.判断线段AE.BF.EF三者之间存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数l₁：y₁=ax+b的图象经过点A和B，其中点B的坐标是（0，6），∠OAB=45°，一次函数l₂：y₂=-$\frac{1}{3}$x的图象与l₁相交于点C．
（1）求一次函数l₂：y₁=ax+b的解析式，并求y₁＞y₂时x的取值范围；
（2）如图②，分别过A、B两点作直线l₂的垂线，垂足为E、F，判断线段AE、BF、EF三者之间存在的数量关系？并说明理由．
（3）设一次函数l₃：y₃=kx（k＞0），分别过A、B两点作直线l₃的垂线，垂足为E、F，判断线段AE、BF、EF三者之间存在的数量关系，请直接写出结果．

分析（1）由点B的坐标是（0，6）、∠OAB=45°知OA=OB=6，即点A坐标为（6，0），根据点A、B坐标利用待定系数法可得一次函数l₁的解析式，由一次函数l₁和l₂的解析式求得交点C的坐标，结合图象可得答案；
（2）由∠AOB=90°知∠AOE+∠BOF=90°，再根据∠AEO=∠OFB=90°知∠AOE+∠OAE=90°，从而得∠BOF=∠OAE，结合OA=OB=6可证△AOE≌△OBF得AE=OF、OE=BF，即可知EF=OF+OE=AE+BF；
（3）分①k=1、②0＜k＜1、③k＞1三种情况，与（2）同理证△AOE≌△OBF得AE=OF、OE=BF，结合图形中EF转化为线段的和或差即可得出答案．

解答解：（1）∵点B的坐标是（0，6），∠OAB=45°，
∴OA=OB=6，即点A坐标为（6，0），
将点（6，0）、B（0，6）代入y₁=ax+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{6a+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线l₁的解析式为：y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=-\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
由图象可知当x＜$\frac{9}{2}$时，直线l₁位于直线l₂上方，即y₁＞y₂；

（2）EF=AE+BF，
如图1，

∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BOF=∠OAE，
在△AOE和△OBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠OFB}\\{∠OAE=∠BOF}\\{OA=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴AE=OF、OE=BF，
则EF=OF+OE=AE+BF；

（3）EF=|AE-BF|．
①如图2，

当l₃：y=kx垂直于直线l₁：y=-x+6时，即k=1，
由图可知，点E与点F重合，
∵∠AOB=90°，∠OAB=45°，
∴∠OBA=45°，
∴AE=BF=OE，EF=0，
即EF=AE-BF；
②如图3，当0＜k＜1时，

∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠BOF}\\{∠AEO=∠OFB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴AE=OF、OE=BF，
则EF=OE-OF=BF-AE；
③如图4，当k＞1时，

与②同理可得△AOE≌△OBF，
∴AE=OF、OE=BF，
则EF=OF-OE=BF-AE；
综上，EF=|AE-BF|．