Question

17．若a，b，c都是正数，满足$\frac{a}{bc}$+$\frac{b}{ca}$+$\frac{c}{ab}$≤$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$-$\frac{2}{c}$，则2c²-ac-bc-4c+2的最小值为-2．

Answer 1

分析 由于a、b、c都是正数，根据不等式的性质，去掉分式的分母，整理不等式，根据完全平方公式和非负数的性质，得到a、b、c间关系，把a、b、c间关系代入代数式2c²-ac-bc-4c+2，变形成（c-m）²±n的形式，确定最小值．

解答 解：∵$\frac{a}{bc}$+$\frac{b}{ca}$+$\frac{c}{ab}$≤$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$-$\frac{2}{c}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{abc}$+$\frac{{b}^{2}}{abc}$+$\frac{{c}^{2}}{abc}$≤$\frac{2bc}{abc}$+$\frac{2ac}{abc}$-$\frac{2ab}{abc}$，
∵a，b，c都是正数，
∴a²+b²+c²≤2bc+2ac-2ab，
即a²+b²+c²-2bc-2ac+2ab≤0
（a+b）²-2c（a+b）+c²≤0
∴（a+b-c）²≤0
∴a+b=c．
∵2c²-ac-bc-4c+2
=2c²-c（a+b）-4c+2
由于a+b=c，
∴2c²-c（a+b）-4c+2
=c²-4c+2
=（c-2）²-2
∵（c-2）²≥0
∴（c-2）²-2的最小值是-2．

点评 本题考查了完全平方公式、不等式的性质、非负数的性质、配方法及分式的化简求值．解决本题有两个关键：（1）根据完全平方公式和非负数的性质确定a、b、c间关系；（2）把要求最小值的代数式变形成（c-m）²±n的形式．