Question

11．如图，等腰△ABC中，底边BC=a，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D，∠BCD的平分线交BD于E，设k=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，则DE=（　　）

• A． k²a
• B． k³a
• C． $\frac{a}{{k}^{2}}$
• D． $\frac{a}{{k}^{3}}$

Answer 1

分析 由题意可知∠DCE=∠DBC=∠ECB=36°，∠CDE=∠CED=∠BCD=72°，推出BE=CE=CD，设DE=x，BC=BD=a，推出△DCE∽△DBC，可得$\frac{DC}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$，推出$\frac{a-x}{a}$=$\frac{x}{a-x}$，即x²+ax-a²=0，可得x=$\frac{3a-\sqrt{5}a}{2}$或$\frac{3a+\sqrt{5}a}{2}$（舍弃），即DE=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a，由此即可解决问题．

解答 解：由题意可知∠DCE=∠DBC=∠ECB=36°，∠CDE=∠CED=∠BCD=72°
∴BE=CE=CD，设DE=x，BC=BD=a，
∴△DCE∽△DBC，
∴$\frac{DC}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$，
∴$\frac{a-x}{a}$=$\frac{x}{a-x}$，
∴x²+ax-a²=0，
∴x=$\frac{3a-\sqrt{5}a}{2}$或$\frac{3a+\sqrt{5}a}{2}$（舍弃），
∴DE=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a，
∵k=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$\frac{1}{{k}^{2}}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴DE=$\frac{a}{{k}^{2}}$，
故选C．

点评 本题考查黄金分割、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建一元二次方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．