Question

16．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c-4；④方程ax²+bx+c=1有两个相等的实数根，其中正确的结论是③④．（只填序号即可）．

Answer 1

分析 ①根据抛物线的开口方向、对称轴位置和抛物线与y轴的交点坐标即可确定；
②根据抛物线的对称轴即可判定；
③根据抛物线的顶点坐标及b=-a即可判定；
④根据抛物线的最大值为1及二次函数与一元二次方程的关系即可判定．

解答 解：①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0．
由对称轴在y轴的右侧知b＞0，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0．故①错误；

②∵抛物线的对称轴直线x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=-b．
故②错误；

③∵该抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，1），
∴1=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，
∴b²-4ac=-4a．
∵b=-a，
∴a²-4ac=-4a，
∵a≠0，等式两边除以a，
得a-4c=-4，即a=4c-4．
故③正确；

④∵二次函数y=ax²+bx+c的最大值为1，即ax²+bx+c≤1，
∴方程ax²+bx+c=1有两个相等的实数根．
故④正确．
综上所述，正确的结论有③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．