Question

12．探索题：图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．

（1）请用两种不同的方法，求图b中阴影部分的面积：方法1：（m-n）²； 方法2：（m+n）²-4mn；
（2）观察图b，写出代数式（m+n）²，（m-n）²，mn之间的等量关系，并通过计算验证；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若2a+b=5，ab=2，求（2a-b）²的值．

Answer 1

分析 （1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长，可以直接利用正方形的面积公式得到阴影部分面积；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；
（2）利用（1）中图b中的阴影部分的正方形面积，得到（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（3）根据（2）的结论得到（2a-b）²=（2a+b）²-8ab，然后把2a+b=5，ab=2代入计算即可．

解答 解：（1）方法1：图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m-n，故阴影部分面积为（m-n）²；
方法2：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即（m+n）²-4mn；
故答案为：（m-n）²，（m+n）²-4mn；

（2）（m-n）²=（m+n）²-4mn；
验证：∵（m-n）²=m²-2mn+n²，
（m+n）²-4mn=m²+2mn+n²-4mn=m²-2mn+n²，
∴（m-n）²=m²-2mn+n²；

（3）∵（2a-b）²=（2a+b）²-8ab，
∴当2a+b=5，ab=2时，（2a-b）²=5²-8×2=9．

点评 本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．解决问题的关键是利用整体代入的方法求代数式的值．