Question

5．如图，△ABC中，D是AB的中点，DF∥BC，过点C且与AB平行的直线与DF相交与点F．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形DBCF是平行四边形，得出CF∥BD，CF=BD，由中点的定义得出BD=AD，证出CF=AD，即可得出结论；
（2）由（1）得：四边形ADCF是平行四边形，得出DF=BC，由CA=CB，得出CA=DF，即可得出四边形ADCF是矩形．

解答 （1）证明：如图所示：
∵DF∥BC，CF∥BD，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴CF∥BD，CF=BD，
∵D是AB的中点，
∴BD=AD，
∴CF=AD，
∴四边形ADCF是平行四边形；

（2）解：当△ABC满足CA=CB时，四边形ADCF是矩形；理由如下：
由（1）得：四边形ADCF是平行四边形，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴CA=DF，
∴四边形ADCF是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定定理，证明四边形ADCF是矩形是解决问题的关键．