Question

4．如图，在直角坐标系中，抛物线y=-（x+1）²+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）写出抛物线顶点D的坐标（-1，4）；
（2）点D₁是点D关于y轴的对称点，判断点D₁是否在直线AC上，并说明理由；
（3）若点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方，过点E作EF⊥x轴交线段AC于点F，求线段EF的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点解析式y=-（x+1）²+4，即可求出抛物线顶点D的坐标是（-1，4）；
（2）先根据抛物线的解析式y=-（x+1）²+4，求出A、C两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据关于y轴对称的点的坐标特征得出D₁（1，4），然后代入直线AC的解析式即可判断点D₁在直线AC上；
（3）设点E（x，-x²-2x+3），则F（x，x+3），求出EF=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x，利用配方法化成顶点式，根据二次函数的性质即可求出最大值．

解答 解：（1）∵y=-（x+1）²+4，
∴抛物线顶点D的坐标是（-1，4）．
故答案为（-1，4）；

（2）点D₁在直线AC上，理由如下：
∵抛物线y=-（x+1）²+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
∴当y=0时，-（x+1）²+4=0，解得x=1或-3，A（-3，0），B（1，0），
当x=0时，y=-1+4=3，C（0，3）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
∵点D₁是点D关于y轴的对称点，D（-1，4）．
∴D₁（1，4），
∵x=1时，y=1+3=4，
∴点D₁在直线AC上；

（3）设点E（x，-x²-2x+3），则F（x，x+3），
∵EF=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x=-（x+1.5）²+2.25，
∴线段EF的最大值是2.25．

点评 本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的性质，利用待定系数法求直线的解析式，函数图象上点的坐标特征等知识，难度适中．