Question

17．如图，已知A（0，4），E（8，0），点P（a，0）是线段OE上的动点，点B为AP的中点，以BP为边向右边作正方形PBCD，过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DF⊥x轴于点F，连接DE．
（1）判断DF，BM，MF之间的关系，并说明理由；
（2）求点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）当点P在线段OE（点O，点E除外）上运动时，设△PDE的面积为S，写出S与a的函数关系式，当点P运动到何处时，△PDE的面积最大，最大是多少？

Answer 1

分析 （1）结论：MF=DF+BM．只要证明△PBM≌△DPF，即可推出PM=DF，BM=PF，由此即可解决问题；
（2）利用全等三角形的性质，求出OF、DF的长即可解决问题；
（3）构建二次函数．利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）结论：MF=DF+BM．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴PB=PD，∠BPD=90°，
∵BM⊥OE，DF⊥OE，
∴∠BMP=∠DFP=90°，
∵∠BPM+∠DPF=90°，∠MBP+∠BPM=90°，
∴∠MBP=∠DPF，
∴△PBM≌△DPF，
∴PM=DF，BM=PF，
∴MF=MP+PF=DF+BM．

（2）∵A（0，4），P（a，0），
∴OA=4，OP=a，
∵B为AP的中点，
∴B（$\frac{a}{2}$，2），BM=PF=2，OM=PM=DF=$\frac{1}{2}$a，
∴D（a+2，$\frac{a}{2}$）．

（3）由题意S=$\frac{1}{2}$•PE•DF=$\frac{1}{2}$（8-a）•$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{4}$a（8-a）=-$\frac{1}{4}$（a-4）²+4，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴a=4时，S有最大值4．
∴当P运动到P（4，0）时，△PDE的面积最大，最大面积为4．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．