Question

如图，已知PA、PB是⊙O的两条弦，C、D分别是

PA

、

PB

的中点，且

PC

=

PD

，PO的延长线交AB于点E，求证：PE⊥AB．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：连接OA，OB，由C、D分别是

PA

、

PB

的中点，且

PC

=

PD

，可得

PA

=

PB

，进而可得：PA=PB，然后根据等边对等角可得：∠PAB=∠PBA，即∠2+∠3=∠4+∠5，然后由OA=OB=OP，可得：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，进而可得：∠1=∠6，然后由等腰三角形的三线合一，可证PE⊥AB．

解答：证明：连接OA，OB，如图所示，

∵C、D分别是

PA

、

PB

的中点，且

PC

=

PD

，
∴

PA

=

PB

，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
即∠2+∠3=∠4+∠5，
∵OA=OB=OP，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠1=∠6，
∵PA=PB，
∴PE⊥AB．

点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系，及等腰三角形的性质，由边等得到角等是解题的关键．