Question

如图，正六边形ABCDEF的周长为12，⊙O是正六边形ABCDEF的内切圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）求正六边形ABCDEF的面积；
（3）求图中阴影部分的面积；
（4）若扇形OMN是一个圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：（1）如图，作辅助线，证明△OAB为等边三角形，进而证明∠AOK=30°，AK=1；借助直角三角形的边角关系即可解决问题．
（2）直接根据三角形的面积公式求出面积即可解决问题．
（3）求出扇形的面积即可解决问题．
（4）求出底面圆的半径，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接OK，则OK⊥AB；
∵正六边形ABCDEF的周长为12，
∴AB=2，∠AOB=

360°

6

=60°；
∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，而OK⊥AB，
∴∠AOK=30°，AK=1；
∵cos30°=

OK

OA

，
∴OK=

3

2

×2=

3

，
即⊙O的半径R=

3

．
（2）S六边形ABCDEF=6×

1

2

×2×

3

=6

3

．
（3）∵S扇形OMN=

60π•R2

360

=

3π

6

=

π

2

，
∴S阴影=

1

2

×2×

3

-

π

2

=

3

-

π

2

．
（4）设圆锥底面圆的半径为λ，
则

60πR

180

=2πλ，
∴λ=

3

6

，
∴该圆锥的表面积=πλ2+

π

2

=

7π

12

．

点评：该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．