Question

3．阅读材料：
在一次数学活动课上，老师出了一道题：
（1）解方程x²-3x-4=0．
巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二题：
（2）解关于x的方程mx²+（m-4）x-4=0（m为非零常数）．
老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变为第三道题：
（3）已知关于x的函数y=mx²+（m-4）x-4（m为非零常数）．求证：不论m为何值，此函数的图象恒过两个定点．
老师发现小明第（3）题的解法新颖，小明的解法如下：
∵y=mx²+（m-4）x-4
∴（x²+x）m-4x-4-y=0
∵上式对任何非零实数m都成立，所以
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x=0}\\{-4x-4-y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$
∴此函数的图象恒过两个定点（-1，0）和（0，-4）．
表扬了小明后，老师给出第四道题：
（4）已知关于x的函数y=mx²+（4m-3）x+4m-2（m为非零常数）．求证：不论m为何值，此函数的图象恒过定点．
请你用自己熟悉的方法完成第（1）题和第（2）题，用小明的方法完成第（4）题．

Answer 1

分析 （1）用因式分解法解即可．
（2）用十字相乘法（分解因式法）即可解决．
（4）模仿（3）把问题转化为方程组解决．

解答 解：（1）∵x²-3x-4=0，
∴（x-4）（x+1）=0，
∴x=4或-1；

（2）∵mx²+（m-4）x-4=0（m≠0），
∴（x+1）（mx-4）=0，
∴x=-1或$\frac{4}{m}$；

（4）∵y=mx²+（4m-3）x+4m-2，
∴y=mx²+4mx-3x+4m-2，
∴（x²+4x+4）m-y-3x-2=0，
∵$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+4=0}\\{-y-3x-2=0}\end{array}\right.$，
交点$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴此函数的图象恒过定点（-2，4）

点评 本题考查二次函数图象上点的特征、二次函数过定点问题、一元二次方程的解法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿，学会把问题转化为方程组解决，属于中考常考题型．