Question

15．如图，已知AB=$\sqrt{3}$，AC=2，AB⊥AC，BD=3，CD=4．
（1）求BC的长度；（2）求四边形ABDC的面积．

Answer 1

分析 （1）直接根据勾股定理求出BC的长即可；
（2）先根据勾股定理的逆定理判断出△BCD是直角三角形，再由S_{四边形ABDC}=S_△ABC+S_△BDC，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB⊥BC，
∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中，
∵AB=$\sqrt{3}$，AC=2，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$；

（2）∵BC=$\sqrt{7}$，BD=3，
∴BC²+BD²=（$\sqrt{7}$）²+3²=16．
∵CD²=16，
∴BC²+BD²=CD²，
∴△BCD是直角三角形，
∴S_{四边形ABDC}=S_△ABC+S_△BDC
=$\frac{1}{2}$AB•AC+$\frac{1}{2}$BD•BC
=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{7}$
=$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．