Question

18．在平面直角坐标系中，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
（1）点P（-2，7），Q（3，-5），求PQ的长．
（2）利用两点间距离公式求$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+36}$+1的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据两点间距离公式即可得到结论；
（2）利用两点间距离公式求$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+36}$+1的最小值，本题可以化归为：在x轴上找一点P（x，0），使其与两定点A（0，2），B（3，6）的距离之和为最小，然后根据两点间距离公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵P（-2，7），Q（3，-5），
∴PQ=$\sqrt{（-2-3）^{2}+（7+5）^{2}}$=13；
（2）如图，利用两点间距离公式求$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+36}$+1的最小值，
本题可以化归为：在x轴上找一点P（x，0），
使其与两定点A（0，2），B（3，6）的距离之和为最小，
即$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-6）^{2}}$有最小值．
作A点关于x轴的对称点A'（0，-2），连接BA'，与x轴的交点即为所求的P点．
此时$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+36}$有最小值，
其最小值=A′B=$\sqrt{（0-3）^{2}+（-2-6）^{2}}$=$\sqrt{73}$．
∴$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+36}$+1的最小值=$\sqrt{73}$+1．

点评 本题考查了轴对称-最小距离问题，两点间的距离公式，正确的理解题意是解题的关键．