Question

9．将两块全等的含30°角的直角三角扳按图I的方式放置，已知∠BAC=∠B₁A₁C=30°，AB=2BC．固定三角板A₁B₁C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转（如图2所示），AB与A₁C、A₁B₁分别交于点D、E，AC与A₁B₁交于点F．给出下列结论：
①当旋转角等于20°时，∠BCB₁=l60°；
②当旋转角等于30°时，AB与A₁B₁垂直；
③当旋转角等于45°时，AB∥CB₁；
④当AB∥CB₁时，点D为A₁C的中点．
其中正确的是①②④ （写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 求出∠BCB₁+A₁CA=180°，求出∠A₁CA和∠BCB₁，再判断①②③即可；根据两直线平行，同旁内角互补求出∠ADC=90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=$\frac{1}{2}$AC，根据旋转的性质可得A₁C=AC，然后求出解，即可判断④．

解答 解：①∵∠ACB=∠A₁CB₁=90°，
∴∠BCB₁+A₁CA=∠ACB+∠ACB₁+∠A₁CA=∠ACB+∠A₁CB₁=90°+90°=180°，
∵旋转角等于20°，
∴∠A₁CB=90°-20°=70°，
∴∠A₁CA=90°-70°=20°，
∴∠BCB₁=180°-∠A₁CA=160°，∴①正确；

②∵两块全等的含30°角的直角三角扳按图I的方式放置，
∴∠B=∠B₁=60°，
∵旋转角等于30°，
∴∠A₁CB=90°-30°=60°，
∴∠A₁CA=90°-60°=30°，
∴∠BCB₁=180°-∠A₁CA=150°，
∴∠BEB₁=360°-60°-60°-150°=90°，
∴AB与A₁B₁垂直，∴②正确；

③∵旋转角等于45°，
∴∠A₁CB=90°-45°=45°，
∴∠A₁CA=90°-45°=45°，
∴∠BCB₁=180°-∠A₁CA=145°，
∴∠BEB₁+∠B=145°+60°=205°≠180°，

∴AB和CB₁不平行，∴③错误；

④∵AB∥CB₁，
∴∠ADC=180°-∠A₁CB₁=180°-90°=90°，
∵∠BAC=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC，
又∵由旋转的性质得，A₁C=AC，
∴A₁D=CD，∴④正确；
故答案为：①②④．

点评 本题考查了旋转的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．