Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，点E在边AC上（不与A，C重合），DE⊥AC，DA⊥AB，F为BD的中点，点G在边AB上，且CF=FG，连接EF，EG，已知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（1）求证：EF=FG；
（2）若CF⊥FG，求证：AC=AD；
（3）连接CD，若CD∥AB，判断△EFG的形状并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DH⊥BC于H，连接HF，只要证明△DEF≌△HCF即可解决问题．
（2）如图2中，取AB中点M，连接FM，作CN⊥MF于N，连接CM，先证明△GFN≌△FCN，推出CN=FM，再证明AC=2CN，AD=2FM即可．
（3）△EFG是等边三角形，如图3中，延长CF交AB于K，连接CG，只要证明点F是△CEG的外心，推出∠EFG=2∠ECG=60°即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，作DH⊥BC于H，连接HF．

∵∠DEC=∠DHC=∠ECH=90°，
∴四边形CEDH是矩形，
∴DE=CH，
在Rt△DHB中，∵DF=FB，
∴FH=$\frac{1}{2}$BD=DF，
∴∠FDH=∠FHD，
∵∠EDH=∠DHC=90°，
∴∠FHC=∠FDE，
在△DEF和△HCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=FH}\\{∠EDF=∠FHC}\\{DE=CH}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△HCF，
∴EF=CF，
∴CF=FG，
∴EF=FG．

（2）证明：如图2中，取AB中点M，连接FM，作CN⊥MF于N，连接CM．

∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，
∴∠CAB=60°，
∵AM=BM，
∴CM=AM=BM，
∴△ACM是等边三角形，
∴∠AMC=60°，CM=AC，
∵CF⊥FG，
∴∠CFN+∠GFM=90°，
∵∠CFN+∠FCN=90°，
∴∠GFM=∠FCN，
∵∠GMF=90°=∠N，FG=CF，
∴△GFN≌△FCN，
∴CN=FM，
∵∠CMN=∠AMN-∠AMC=30°，
∴AC=CM=2CN，
∵F是BD中点，MA=MB，
∴AD=2FM，
∴AC=AD．

（3）结论：△EFG是等边三角形．
理由：如图3中，延长CF交AB于K，连接CG，

∵CD∥AB，DF=BF，
∴FK=CF，
由（1）可知，CF=EF=FG，
∴∠CGK=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ECG=30°，
∵CF=EF=FG，
∴点F是△CEG的外心，
∴∠EFG=2∠ECG=60°，
∵EF=FG，
∴△EFG是等边三角形．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形30度角性质、三角形的外心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．