Question

18．⊙O的半径为6，弦长为一元二次方程x²-5x-6=0的两根，则弦到圆心的距离及弦所对的圆心角的度数分别是（　　）

• A． $\sqrt{3}$和30°
• B． $\sqrt{3}$和60°
• C． 3$\sqrt{3}$和30°
• D． 3$\sqrt{3}$和60°

Answer 1

分析 求出方程x²-5x-6=0的解，确定出弦AB的长，过O作OC⊥AB，连接OA，OB，如图所示，利用垂径定理得到C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出OC的长，即为圆心O到弦AB的距离；由OA=OB=AB=6，得到三角形AOB为等边三角形，可得出∠AOB=60°，即为AB所对的圆心角的度数．

解答 解：方程x²-5x-6=0因式分解得：（x-6）（x+1）=0，
解得：x=6或x=-1（舍去），
∴AB=6，
过O作OC⊥AB，连接OA，OB，如图所示，
可得C为AB的中点，即AC=BC=3，
在Rt△AOC中，OA=6，AC=3，
根据勾股定理得：OC=$\sqrt{O{A}^{2}-A{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵OA=OB=AB=6，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
则圆心O到弦AB的距离以及AB所对的圆心角分别为3$\sqrt{3}$和60°．
故选D．

点评 此题考查了垂径定理，勾股定理，以及一元二次方程-因式分解法，利用了数形结合的思想，熟练掌握定理是解本题的关键．